Презентация. Атом водорода

Скачать презентацию




АТОМНЫЕ СТРУКТУРЫ
 


Одноэлектронные атомы Н He+ Li2+ Многоэлектронные атомы Н– He Li+ Атомное ядро Электронная оболочка Кулоновские силы Магнитные силы
 


Атом водорода Описание атома водорода играет в квантовой химии фундаментальную роль 1) атом водорода — это единственная реальная система, для которой возможно установить точный аналитический вид волновых функций ? (r, ?, ?) 2) волновые функции стационарных состояний атома водорода образуют базисный набор, который можно использовать для анализа волновых функций более сложных систем — многоэлектронных атомов и молекул
 


Fкул = – e2 / r2 е — элементарный заряд
 


 
 


Каждое базисное состояние — точка 6-мерного конфигурационного пространства | ? ? = C1 ? | 1 ? + … + Cn ? | n ? Уравнение на собственные значения для оператора Гамильтона n ? ?
 


Н = Т1 ? Т2 + U12 , Т1 = – (?2/2m1)?2(x1, y1, z1) Т2 = – (?2/2m2)?2(x2, y2, z2) U12 = – (Ze2)/r Оператор Гамильтона для атома водорода
 


Уравнение на собственные значения для оператора Гамильтона в лабораторной декартовой системе координат Переход к внутренней системе координат координаты центра масс в лабораторной системе координаты электрона во внутренней системе, центрированной на ядре
 


1) ГЛОБАЛЬНОЕ движение атома как материальной точки (центра масс) в лабораторной системе координат (X, Y, Z). 2) ЛОКАЛЬНОЕ движение электрона во внутренней системе координат (x, y, z), начало которой расположено в центре масс. Ф (x1, y1, z1, x2, y2, z2) = = Ф' (X, Y, Z) • Ф (x, y, z) Результат — разделение одного сложного (6-мерного) движения на два простых (3-мерных) движения
 


Внешнее уравнение Частица с массой M = m1 + m2 в трехмерном потенциальном ящике
 


Внутреннее уравнение
 


Переход к сферической системе координат
 


?(r, ?, ?) = = R(r) ? ?(?) ? ?(?)
 


Условие разрешимости системы ? = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, … ? = 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, … ? = m ? m , где m = 0, ± 1, ± 2, ... ? = ?(? + 1), где ? = 0, 1, 2, ... Вспомогательные соотношения
 


?(r, ?, ?) = R(r) • ?(?) • ?(?) ?(n, ?, m) = R(n, ?) • ?(?, m) • ?(m) Ф-функции
 


{ ? ? | m | } ?-функции
 


{ n > ? }
 


{ ? ? | m | } { n > ? } Полный набор стационарных состояний
 


?100 ?200 ?21–1 ?210 ?21+1 ?300 ?31–1 ?310 ?31+1 ?32–2 ?32–1 ?320 ?32+1 ?32+2 ?n, ?, m
 


Номенклатура ?100 = 1so ?200 = 2so ?210 = 2po ?21–1 = 2p–1 ?211 = 2p1 ?300 = 3so ?310 = 3po ?31–1 = 3p–1 ?311 = 3p1 ?320 = 3do ?32–1 = 3d–1 ?321 = 3d1 ?322 = 3d2 ?32–2 = 3d–2
 


Суперпозиционные состояния Квантовые числа n и ? определяют пространство состояний { ?n? } с размерностью 2? + 1 Все состояния в таком пространстве характеризуются одним и тем же значением энергии и момента импульса: E = const | L | = const При этом, однако ориентация вектора момента может быть любой: Lz = ??? В пустом пространстве все направления равноправны { n ? m } { E |L| Lz }
 


?n? = C–m ? ?n?,–m + … + C+m ? ?n?,+m
 


2p-оболочка 2рx ~ 2p+1 + 2p–1 = e+i? + e–i? = R ? sin? ? cos? 2рy ~ 2p+1 – 2p–1 = e+i? – e–i? = R ? sin? ? sin? 2рz = 2po = R ? cos? ? ei0? = R ? cos?
 


На коэффициенты А и В ограничений нет, поэтому каждому разрешенному уровню энергии соответствует двумерное пространство состояний ( окружность А2 + В2 = 1 ) Все эти состояния имеют одинаковые значения энергии и модуля вектора момента E = const и | L | = const но различаются по величинам коэффциентов А и В Волновые функции плоского ротатора
 


? = С1 ? ?+ + С2 ? ?– = С1 ? ?+ + С2 ? ?– ?+ = е im? ?– = е–im? ?+ = ?+ + ?– = cos(m?) ?– = ?+ – ?– = sin(m?) Волновые функции плоского ротатора
 


Полярные диаграммы ? = cos(?) + –
 


 
 


2рx = R ? sin ? ? cos ?
 


«р-орбитали имеют форму гантели» (Н.С. Ахметов «Общая и нерганическая химия») Правильное утверждение: «полярные диаграммы р-орбиталей имеют форму гантели» Любая орбиталь определена на всем трехмерном пространстве. Она не имеет границ и поэтому не может иметь какую-либо «форму».
 


При фиксированном значении r область определения становится двумерной (поверхность сферы) В результате мы можем «увидеть» форму угловой части орбитали, находясь в трехмерном пространстве — это сложная замкнутая поверхность, огибающая сферическую область определения При изменении значения r «форма» угловой части сохраняется, хотя длины всех стрелок изменяются в одно и то же число раз
 


 
 


+
 


3d-оболочка Комплексный базис Действительный базис
 


 
 


Нестационарные суперпозиционные состояния Нестационарные состояния быстро релаксируют к одному из стационарных (? ? 10–8 с)
 


Физические характеристики атома водорода
 


Динамические наблюдаемые А ?(r, ?, ?) = А ? ?(r, ?, ?) Волновые функции стационарных состояний являются собственными для операторов динамических наблюдаемых H ? = E ? ? ( E — энергия ) L2 ? = | L |2 ? ? ( | L | — модуль вектора орбитального момента ) Lz ? = Lz ? ? ( Lz — проекция вектора орбитального момента )
 


? = 9,11 ? 10–31 кг е = 1,6 ? 10–19 Кл ? = 1,055 ? 10–34 Джс о = 8,84?10–12 Ф/м Энергия (полная) E = T + U Нуль на шкале энергии соответствует бесконечно большому расстоянию между ядром и электроном, поэтому энергии всех связанных состояний отрицательны
 


Энергетическая диаграмма Е r n = 1 E1 = – R n = 2 E2 = – R/4 n = 3 E2 = – R/9 n = 4 E2 = – R/16
 


Электронные переходы в атоме водорода серия Лаймана серия Бальмера серия Пашена
 


 
 


Вырожденность уровней энергии Степень вырождения = n2
 


Модуль и проекция вектора L Lz = ?m = 0, ± ?, ± 2?, … , ± | L |
 


Пространственные наблюдаемые ?(r, ?, ?) — не является собственной для операторов координат R, ? и ?
 


 
 


 
 


2s – состояние
 


3s – состояние
 


Случай больших n Число узловых точек = n – 1
 


2р-состояние
 


3р-состояние + –
 


Случай больших n Число узловых точек = n – 2 Число радиальных узловых точек Nрад = n – ? – 1 Обобщенная формула Узловая структура (и энергия) электронных облаков не зависят от величины магнитного числа m. Так, например, для всех пяти состояний типа 3d число радиальных узлов равно нулю.
 


Функция радиального распределения (ФРР) ФРР(r) = |R(r)|2 ? 4?r2 Она дает вероятность обнаружить электрон на расстоянии r от ядра, независимо от углов, т.е. внутри тонкого шарового слоя, объем которого пропорционален 4?r2 ао — боровский радиус
 


Угловые зависимости Y(?, ?) = ?(?) • ?(?) (при R(r) = const) Шаровые функции Область определения (поверхность сферы) Полярная диаграмма
 


 
 


 
 


По мере роста квантового числа ? общее число узловых поверхностей не изменяется, но часть радиальных преобразуется в угловые Число угловых узловых поверхностей равно ?
 


Изовероятные поверхности (ИВП) | ?(r, ?, ?) |2 = const r = f ( ?, ?) Для того, чтобы получить представление о распределении плотности электронного облака, необходимо располагать большим набором ИВП с разными значениями вероятности ИВП – 90 % ИВП – 95 %
 


Спиновые характеристики электрона Модуль | S |2 = ?2 [ s (s + 1) ] s — спиновое квантовое число Проекция Sz = ? ? ms ms — магнитное спиновое квантовое число
 


s = 1/2 ms = ( +1/2; –1/2 ) ?(r, ?, ?, ?) = ?(r, ?, ?) ? ?(?) Пространственный множитель Спиновой множитель
 


?(r, ?, ?, ?) = ?(r, ?, ?) ? ?(?) Квантовые числа Наблюдаемые
 


Спин-орбитальное взаимодействие | L1 | = const L1Z = const | L2 | = const L2Z = const Закон сохранения момента импульса
 


| L1 | = const L1Z = const | L2 | = const L2Z = const | J | = const JZ = const
 


Несвязанные гироскопы Cвязанные гироскопы Закон сохранения момента выполняется для обоих векторов ( L1 и L2 ) по отдельности Закон сохранения момента выполняется только для глобального вектора J = L1 + L2
 


Атом водорода Магнитные моменты взаимодействуют между собой — спин-орбитальное взаимодействие
 


Нерелятивистская модель J = L + S Релятивистская модель | J | — модуль вектора полного механического момента JZ — проекция вектора полного механического момента
 


Вектор полного механического момента j = (? + s), (? + s) – 1, … , | ? – s | mj = – j , – j + 1 , … , + j
 


ns ? = 0 s = 1/2 j = 1/2 mj = { –1/2 +1/2 } ? = 1 s = 1/2 j1 = ? + s = 3/2 mj1 = { –3/2 –1/2 +1/2 +3/2 } j2 = | ? – s | = 1/2 mj2 = { –1/2 +1/2 }
 


nd ? = 2 s = 1/2 j1 = ? + s = 5/2 mj1 = { –5/2 –3/2 –1/2 +1/2 +3/2 +5/2 } j2 = | ? – s | = 3/2 mj2 = { –3/2 –1/2 +1/2 +3/2 }
 


Нерелятивистские состояния
 


 
 


 
 


E 1s 2s 3s 2p 3p 3d Нерелятивистская модель Энергия зависит только от квантового числа n
 


E 1s 2s 3s 2p3/2 Релятивистская модель 2d3/2 2d5/2 2p1/2 2p3/2 2p1/2 Энергия зависит от квантовых чисел n (сильно) и ? (слабо) Е(s) < E(p) < E(d) < … Причина — спин-орбитальное магнитное взаимодействие
 


Домашнее задание Задача 6.1. Описать графически радиальные и угловые зависимости волновой функции и плотности электронного облака для заданного стационарного состояния { n, ?, m? , ms } атома Н: определить число радиальных и угловых узловых поверхностей Nрадиальн. = ???, Nуглов. = ??? нарисовать примерный вид графиков радиальной и угловой зависимостей волновой функции и ее квадрата.
 


Задача 6.2. Для заданного стационарного состояния { n, ?, m? , ms } атома водорода составить нерелятивистские и релятивистские обозначения { n, ?, m? , ms }
 


Задача 6.3. Для заданного стационарного состояния { n, ?, m? , ms } атома водорода вычислить значения наблюдаемых: 1) энергии (в Дж) Е = ??? 2) модулей и проекций векторов орбитального, спинового и полного механического моментов (в Дж ? с) | L | = ??? LZ = ??? | S | = ??? SZ = ??? | J1 | = ??? (2 штуки) J1Z = ??? ( 2j1 + 1 штука ) | J2 | = ??? (2 штуки) J2Z = ??? ( 2j2 + 1 штука ) j1 = ? + s j2 = | ? – s |
 

< <       > >